第二章 随机变量
一、随机变量
- 定义：随机变量X是定义在样本空间Ω上的实值函数，对每一个样本点$ω$，$X(\omega)$是一个实数（即对每一样本点对应一个实数值）。
- 分类：
- 若X的取值为有限或可数个，称为离散型随机变量，概率规律为一个分布列。
- 若X的取值为连续区间，单点的概率为0，只能定义一个密度函数。
- 分布函数：设X为随机变量，称$F(x)=P\{X \leq x\}$（$-\infty < x < +\infty$）为X的分布函数，简称分布函数，记为$x$ ~ $F(x)$（或CDF）。
分布函数性质：
- ①F(x)单调非减，$F(+\infty)=1$，$F(-\infty)=0$
- ②F(x)右连续
二、离散型随机变量
- 定义：随机变量取值为有限或可数个时，称为离散型随机变量。
- 设$P_k = P\{X = x_k\}$，$k=1,2,...$为概率分布，称$\{P_k\}$为概率分布列。
- 定理：
- ①$\sum_{k} P_k = 1$
- ②X的分布函数为$F(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_k \leq x} P_k，-\infty < x < +\infty$
- 两点分布（贝努利分布）：
- 定义：X取值0或1，概率分布为P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，记为B(1, p)。
- 模型：只有两种结果的随机试验。
- 二项分布：来源于重复伯努利试验。
- 定义：随机变量X取值为0,1,...,N，且满足$P(X=k)=C_N^k p^k q^{N-k}$，k=0,1,...,N，p+q=1，则X服从二项分布，记为B(N, p)。
- 模型：N次独立试验中的成功次数。
- 数学来源：概率分布列恰为二项式定理展开各项$(p+q)^N = \sum_{k=0}^{N} C_N^k p^k q^{N-k}$。
- 几何分布：
- 定义：随机变量Y的取值为自然数k=1,2,...，且满足$P(Y=k)=p(1-p)^{k-1}$，其中0<p<1，则Y服从几何分布。
- 模型：重复试验直到首次成功时的试验次数。
- 负二项分布：
- 定义：$P(Y=k)=C_{k-1}^{r-1} p^r (1-p)^{k-r}$，$k=r,r+1,...$，记为$NB(r, p)$。
- 模型：记Y为第r次成功时的总试验次数。
- 关联：$Y = Y_1 + Y_2 + ... + Y_r$（$Y_i$为第i次成功所需次数，均为几何分布）。
- 超几何分布：
- 定义：$P(X=k)=\frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$，满足条件则X服从超几何分布，记为H(n, M, N)。
- 模型：总样本数N，其中M个为特殊类，从中抽取n次，恰抽到k个特殊品的概率。
- 数学近似：当N,M较大时，可用二项分布$B(n, p=\frac{M}{N})$逼近（即抽样不放回近似为放回）。
- 泊松分布：
- 定义：随机变量X取值为$k=0,1,2,...$，满足$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$，λ为正常数，则X服从泊松分布，记为$\pi(\lambda)$或$P(\lambda)$。
- 模型：大量试验中的小概率事件发生次数。
- 近似关系：若$X \sim B(n, p)$，当n很大，p很小时，$\lambda = np$，则X近似服从$P(\lambda)$。
- 查表：设$P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$，则$P\{Y \geq x\}=1-P\{Y \leq x-1\}=1-F(x-1)=\sum_{k=x}^{+\infty} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$