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第一章 随机事件的概率
1.1 随机事件与样本空间
随机试验 —>（每一个结果） 基本事件 $e₁, e₂, …, eₙ$ —>（属于） 随机事件 A, B, C
- 必然事件 S 或者 $\Omega$
- 不可能事件 ∅
- 样本空间：事件的全部基本事件组成的集合，记为 S 或 Ω
常见运算 ：
- $ A \subset B \quad A = B $
- $ A + B (=) A \cup B $
- $ AB (=) A \cap B $
- 互斥 $ A \cap B = \varnothing $
- 对立事件 $ AB = \varnothing, A + B = S $
- $ A - B $
1.2 古典概率、几何概型、统计定义概率
- 古典概型：包含有限个基本事件，且每个事件等可能发生。
- 古典概率：$P(A)=\frac{k}{n}$，其中k为事件A所包含的基本事件个数，n为样本空间S的基本事件总数。
- 常用公式：
- $P_n = A_n^n = n!$
- $C_n^k = \frac{A_n^k}{A_k^k} = \frac{A_n^n}{A_k^k \cdot A_{n-k}^{n-k}}$
例：将5本不同数学书，3本不同物理书随意地摆在书架的同一层，求所有3本数学书在一起的概率。
解：3本数学书在一起有2种情况（3本数学书整体的排列），先摆剩下5本书，数学书插6个空。
$$ \therefore P=\frac{A_{5}^{3} \cdot A_{6}^{3} \cdot A_{5}^{5}+A_{5}^{3} \cdot A_{2}^{2}\cdot A_{6}^{2} \cdot A_{5}^{5}}{A_{10}^{10}}=\frac{5}{14} $$
- 几何概型：S是一个可度量有界区域，在区域内做随机试验，落在任一子区域A内的可能性大小与A的度量成正比。
- 概率公式：$P(A)=\frac{L(A)}{L(S)}$，其中L(A)为区域A的度量，L(S)为样本空间S的度量。
例：两人定于10:00见面，等20分钟就离开，求相遇的概率？
$$ \gamma(A)=\frac{L(A)}{L(S)}=\frac{60^{2}-2 \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot40^{2}\right)}{3600}=\frac{5}{9} $$
- 统计定义（对不等可能事件）：随试验次数增大，事件A发生的频率$\frac{n_A}{n}$趋近于概率$P(A)$，即$P(A)=\lim_{n \to \infty}\frac{n_A}{n}$
1.3 概率的公理化定义
- 不相容事件（互斥事件）的可加性：$$P(\sum_{i=1}^{n} A_{i})=\sum_{i=1}^{n} P(A_{i})$$
- 对立事件概率：$P(A)=1-P(\overline{A})$
- 加法公式：$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
1.4 条件概率与乘法公式
- 条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率$P(A | B)=\frac{P(A B)}{P(B)}（P(B)>0）$
- 乘法公式：$P(A B)=P(B | A) \cdot P(A)（P(A)>0）$
1.5 全概率公式与贝叶斯公式
- 全概率公式：若事件$B_1, B_2, ..., B_n$满足$\sum_{i=1}^{n} B_i = S$且$B_1, B_2, ..., B_n$两两互斥，$P(B_i)>0（i=1,2,...,n）$，则有$P(A)=\sum_{j=1}^{n} P(B_j) P(A | B_j)$（$n$可为无限）
贝叶斯公式：
$$ P(B_i | A)=\frac{P(A B_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i) \cdot P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A | B_j)}，i=1,2,...,n $$
1.6 事件的独立性
- 定义：若事件A和B满足$P(AB)=P(A) \cdot P(B)$，则A与B相互独立。
定理：
- A与B独立$\Leftrightarrow P(A | B)=P(A)（P(B)>0）$
- A与B独立$\Leftrightarrow P(A | B)=P(A | \overline{B})（P(B)>0, P(\overline{B})>0）$
- A与B独立，则$\overline{A}$与$ B $、$ A $与$\overline{B}$、$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立